[Analisi Mateludica] I Coloni di Catan

scritto da Iaia


Ciao! In questa puntata di Analisi Mateludica vorrei parlare de I Coloni di Catan, gioco per 2-4 giocatori (fino a 6 con l’espansione) in cui i giocatori saranno appunto dei coloni sull’isola di Catan. Il vincitore sarà chi, tramite commercio e costruzioni, avrà a fine partita più punti vittoria.


La probabilità
Il ramo della matematica con cui vorrei approfondire questo gioco è la probabilità. Esistono tantissimi giochi che è possibile studiare attraverso questa disciplina e che sono basati su di essa. Personalmente reputo I Coloni di Catan molto interessante per questo scopo, in quanto utilizza soltanto due dadi ed è uno dei primi giochi che ha usato la probabilità non più come "meccanica nascosta". Riguardo alle "meccaniche nascoste" in fondo all'articolo si trova il link delle slide utilizzate da Marta Ciaccasassi per la sua interessante conferenza tenutasi a IDeAG a San Marino. Purtroppo non è presente l’esempio de I Coloni di Catan, perché è stato riportato soltanto a voce, ma penso possano essere comunque molto interessanti.
La probabilità è uno di quei rami meno “intuitivi” della matematica e, per questo motivo, l’articolo sarà probabilmente un po’ più lungo del solito. Riporto qui un interessante paragrafo dal libro “La lettera di Pascal”, che spiega meglio ciò che intendo.

“Per riferirci al fulcro del dibattito tra Pascal e Fermat, oggi noi useremmo il termine “probabilità” che però venne introdotto quasi un secolo dopo la morte dei due matematici. Essi parlavano invece di “azzardi” o di numero di possibilità. Gran parte delle difficoltà da loro incontrate nascevano dal fatto che non possedevano ancora il concetto di probabilità matematica, proprio perché lo stavano elaborando in quel momento. Dalla nostra prospettiva, è difficile comprendere perché la trovassero così difficile. Ma ciò è un riflesso dell’imponente cambiamento che il loro lavoro ha introdotto nel pensiero umano.”

Le notazioni degli insiemi utilizzate in seguito sono state introdotte nell'articolo su Cryptid. Parlando di probabilità, servono alcune definizioni.
  • Una misura di probabilità è una funzione P che va da F, σ-algebra definita sullo spazio degli eventi Ω, all'intervallo [0,1] tale che valgano:
    1. P(insieme vuoto)=0;
    2. P(Ω)=1;
    3. ∑P(Ek)=P(∪Ek).
  • uno spazio di probabilità è un insieme su cui è definita una misura di probabilità; 
  • una variabile aleatoria è una funzione che va da un insieme di probabilità a uno spazio misurabile E.
Definire la σ-algebra o cosa significhi misurabile complicherebbe inutilmente le cose, ma per completezza l'ho scritto. D'ora in poi scriverò direttamente Ω al posto di F per riferirmi alla σ-algebra. In questo caso Ω può comprendere anche alcuni o tutti i suoi sottoinsiemi e deve comprendere l'insieme vuoto. 
Conviene comunque passare direttamente agli esempi.

Queste tre definizioni come si collegano a I Coloni di Catan e, di fatto, cosa vogliono dire?
I Coloni di Catan è basato principalmente su due dadi a sei facce.
Per prima cosa, per semplicità, considero un dado a sei facce. Lo spazio Ω, in questo caso, sarà dato dall’insieme che comprende i numeri da 1 a 6 e tutti i suoi sottoinsiemi. Si ha perciò:
Ω={ {1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,5},{2,5,6},… }
e quindi la funzione assocerà dei valori anche a questi sottoinsiemi. I sottoinsiemi possibili di un insieme contenente sei numeri sono 2e questo accade perché, per ogni numero, scelgo di volta in volta se prenderlo nel sottoinsieme che considero (da qui il 2, che può essere visto come un sì/no).

Dando per scontato che il dado sia ben bilanciato, ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire.
Questo significa che la probabilità associata ad ogni numero è 1/6.


Questa è solo una parte della funzione, non ho riportato nel disegno come si comporta sui vari sottoinsiemi di Ω e, per semplicità, non ho disegnato i vari sottoinsiemi.

Perché questa funzione è una misura di probabilità?
  1. Per prima cosa si può notare che esce sempre una faccia e quindi il valore assunto dall’insieme vuoto è 0 (non c’è alcuna possibilità che esca “niente”).
  2. La seconda condizione è verificata in quanto “una faccia esce sempre”, ovvero la probabilità che esca un numero dell’insieme Ω è 1.
  3. La terza condizione è la più delicata. Prima ho accennato al fatto che la funzione associa dei valori anche ai sottoinsiemi di {1,2,3,4,5,6}. Questo significa che la probabilità non associa soltanto dei valori ai singoli numeri {1},…,{6}, ma anche ai sottoinsiemi del tipo {1,2} oppure {1,3,5} e così via. In particolare la probabilità associata a un qualsiasi sottoinsieme sarà uguale alla somma delle probabilità dei suoi sottoinsiemi.
Questa condizione è il motivo per cui si può rispondere alla domanda: “Qual è la probabilità che tirando un dado a sei facce esca un 1, un 3 o un 5?”
Equivale a chiedersi che valore assume l’insieme {1,3,5} tramite la probabilità P.
P({1,3,5})=P({1})+ P({3})+ P({5})=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2.

I dadi ne I Coloni di Catan
Considerando i due dadi da sei forniti con I Coloni di Catan, la variabile aleatoria presente nel gioco è quella che associa ad ogni coppia di dadi la somma delle loro facce. Un’altra variabile aleatoria sarebbe potuta essere la differenza tra le facce, un’altra la moltiplicazione e qualsiasi cosa che si possa pensare considerando le facce di due dadi.
Quindi lo spazio Ω comprenderà le 36 possibili coppie di facce di dadi: (1,2), (2,4), (5,1) e così via. Ognuna di queste coppie avrà possibilità di uscire 1/36, in quanto si considerano sempre due dadi bilanciati e quindi anche ogni coppia è “bilanciata”.


Nell’immagine è raffigurato parte dello spazio Ω, che comprende tutte le possibili combinazioni date da due dadi a sei facce.
  • La legge di una variabile aleatoria è quella che spesso viene chiamata “probabilità” o “distribuzione”. Va da uno spazio misurabile solitamente indicato con E all’intervallo [0,1] ed è la probabilità della controimmagine di un evento tramite la variabile aleatoria.
Per controimmagine si intendono gli elementi dello spazio Ω che hanno come immagine quell'evento, cioè vengono mandati tramite la variabile aleatoria in quell’evento. È molto più semplice spiegare pure questo tramite un esempio pratico.


Nell'immagine il token con sopra la miniatura dei briganti corrisponde al numero 7, poiché nel gioco non è presente un token con quel numero.

Si può considerare la seguente domanda: “Qual è la probabilità che, tirando due dadi, la somma delle loro facce sia 8?”
Si vuole quindi sapere qual è l’immagine, tramite la legge della variabile aleatoria, di 8. In sostanza si vuole conoscere il comportamento della freccia col punto di domanda rispetto all'elemento 8.
La definizione di legge di variabile aleatoria assicura che per definirla è sufficiente conoscere la freccia a sinistra (la probabilità) e quella in alto (la variabile aleatoria).


Partendo dall’elemento 8 e andando “a ritroso” tramite la variabile aleatoria, si ha che le coppie di dadi che vengono mandate in 8 sono: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2).
A questo punto si chiede: “Qual è la probabilità che avvenga l’evento {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}?”
Per la terza condizione di spazio di probabilità, la probabilità di questo evento è la somma delle probabilità dei singoli eventi.
Quindi si possono sommare le cinque singole probabilità: 1/36+1/36+1/36+1/36+1/36=5/36.


Definendo così la legge della variabile aleatoria "somma delle facce di due dadi d6" si ottiene questo grafico. Per conoscere la "probabilità" di un certo valore è sufficiente dividere quindi il numero di coppie corrispondenti per 36 (che è infatti il numero totale di coppie possibili).


Nell’immagine è possibile vedere il grafico corrispondente alla variabile aleatoria "somma delle facce di tre dadi". Queste variabili aleatorie che sono somme di facce di dadi, nel momento in cui i tiri sono indipendenti tra loro, avranno sempre una distribuzione di questo tipo, simile a una campana. In generale, la somma delle facce di un qualsiasi numero di dadi, avrà una forma simile a questa, sempre a condizione che l'esito del tiro di ogni dado non venga influenzato da nessun altro tiro.

La mappa
La mappa de I Coloni di Catan è composta da vari esagoni, su cui vengono posti i token riportanti i numeri che attiveranno la produzione dell'esagono, e ha una conformazione ben precisa. Certi numeri sono riportati su due token, mentre altri soltanto su uno.


Come si può vedere dall’immagine gli unici numeri presenti su un singolo token sono soltanto 12 e 2; proprio gli unici numeri che hanno una probabilità di 1/36 di uscire. Questo “bilancia” il fatto di scegliere di costruire in un incrocio che tocchi questi esagoni. Infatti, nel momento in cui esce 2 o 12, è improbabile che vi siano tanti giocatori a giovarne. Ovviamente bisogna sempre considerare la composizione della mappa come, ad esempio, la vicinanza coi porti.
Un’altra cosa da tenere conto è che, per come viene costruita la mappa, i due token riportanti 8 e 6 non avranno mai incroci in comune. Questo evita che vi siano incroci con una probabilità di attivazione troppo elevata. Per lo stesso motivo i due 8 e il 6 si trovano sempre sull'esterno della mappa.


In questa immagine si vede una parte di mappa ovviamente molto appetibile. Si hanno infatti 3 colline adiacenti l’una all’altra, di cui una che si trova sul porto adatto.
In questo caso conviene, in termini di probabilità, che la città venga costruita nell’incrocio a sinistra piuttosto che negli altri due, in quanto, a partire da quello di sinistra, ogni incrocio ha una diversa probabilità di essere attivato:
  • 5/36+3/36+2/36=10/36;
  • 3/36;
  • 3/36+2/36+2/36= 7/36.
Questa però non è ovviamente l’unico criterio con cui si sceglie come giocare a I Coloni di Catan. Se ad esempio il giocatore che ha la maggior quantità di grano nella partita non ha intenzione di commerciare con il giocatore rosso per un qualunque motivo (e sono cose che succedono), magari quest'ultimo sceglierà di fare la città sull’incrocio meno “utile” per ottenere da solo e senza aiuti esterni più grano.

Commercio
I Coloni di Catan è basato sul commercio e anche questo è influenzato dal conoscere la probabilità dell’esito del tiro di dadi. Durante una partita si arriva quasi sempre a un punto in cui qualcuno ha il monopolio della produzione di lana o altre risorse. Probabilmente questo accade perché il giocatore con il monopolio ha puntato sugli esagoni che riportano i numeri con probabilità più alta. Potrà quindi essere più libero nell’affrontare certe trattative riguardanti quella risorsa, essendo conscio che è lui a “stabilire le regole”.
Un’altra cosa che si può verificare è quella situazione per cui certe risorse “non si trovano mai”.


In questo esempio gli esagoni in cui è possibile ottenere la roccia sono corrispondenti ai numeri 2, 12 e 3. È quindi molto probabile che durante questa partita le rocce scarseggeranno. Un giocatore ci penserà bene prima di vendere l’unica roccia che ha e di sicuro non la venderà per una singola risorsa comune come la lana.
Tra l’altro gli esagoni non sono divisi equamente tra le varie risorse. In effetti, si hanno:
  • 4 foreste;
  • 4 colline;
  • 4 campi;
  • 3 rocce;
  • 3 mattoni.
Questo implica che, a maggior ragione, in questa partita le rocce saranno una risorsa molto preziosa.

I Briganti
Se, tramite il lancio dei dadi, la somma delle facce risulta essere 7, si attivano i briganti. In questo caso i giocatori che hanno troppe carte devono scartare quelle in eccesso. In più, il giocatore che ha tirato i dadi, può muovere i briganti e posizionarli su un altro esagono, in modo da renderlo improduttivo. In questo caso il 7 ha due caratteristiche secondo me importanti.
  1. La probabilità che esca 7 è 6/36, più alta rispetto a tutti gli altri numeri. Questo fa sentire i giocatori che hanno tante carte in mano sempre con la sensazione di rischio costante. Nel caso i briganti si fossero attivati con altri numeri (per esempio 11 o addirittura 2), il rischio verrebbe percepito decisamente meno. 
    Questo inoltre cambia molto la reazione di un giocatore che deve scartare le carte. Nel caso che esca il 7, data la sua probabilità, si avranno maggiormente reazioni del tipo “me la sono cercata” piuttosto che “è uscito proprio questo numero”. Non che la seconda opzione non possa mai avvenire (chiaramente dipende dal giocatore), ma se i briganti si attivassero con un numero assai meno probabile (come un 2), il giocatore si sentirebbe molto più penalizzato, percependo la cosa non come "un rischio che poteva correre", ma come "una botta di sfortuna".
  2. Il 7 è l’unico numero con una probabilità “unica”. Come si può vedere da uno dei grafici precedenti, questo numero corrisponde a un picco, mentre tutti gli altri possibili esiti hanno un corrispettivo simmetrico con la stessa probabilità di uscita. Questo può evitare dei ragionamenti sbagliati che avvengono naturalmente quando si parla di numeri con stessa probabilità. Se ad esempio è appena uscito il 3, perché è uscito di nuovo il 3 e non l’11 che ha la stessa probabilità? Chiaramente questo tipo di ragionamento non avviene col numero 7. 
The Gambler Fallacy
Il ragionamento appena citato è chiamato col termine “fallacia del giocatore” (gambler fallacy). Questo è un termine che comprende vari ragionamenti che si è soliti fare a “causa” della probabilità. Oltre a quello di prima, un altro ragionamento che rientra in questa categoria è: “Ma se è appena uscito il 9 non può uscire anche ora!”
Errori di questo tipo sorgono spesso dall’errata interpretazione di un teorema, la “Legge dei grandi numeri”.
Senza entrare nei dettagli e facendo un esempio più immediato, si può considerare una moneta con esiti 0=croce e 1=testa, entrambi con probabilità ½.
La legge dei grandi numeri ci assicura che il valore ottenuto sommando i risultati di n lanci e dividendo il tutto per il numero di lanci fatti tende a ½ per n che tende a infinito.
Questo non vuol dire che se tiro due volte una moneta e la prima esce testa sicuramente la seconda volta uscirà croce. Infatti, il concetto chiave di questo teorema è “n che tende a infinito”, che spesso viene frainteso. Questo teorema è quello che viene sfruttato ad esempio nei casinò e in altri ambiti per avere un ritorno a lungo termine.

Considerazioni finali
Ho giocato spesso a I Coloni di Catan e anche adesso farei volentieri una partita. La cosa però che mi ha colpito di più di questo gioco è che, a partire dai componenti, venga sfruttata la probabilità in modo esplicito per ottenere un gioco in cui l’interazione tra giocatori sia la parte centrale del gioco e in cui il calcolo delle probabilità sia l’ultima cosa di cui preoccuparsi.
Esplicitare le probabilità cambiando dimensione e colore ai numeri riportati sui token permette ad ogni giocatore, anche a chi fa più fatica coi calcoli o semplicemente non ha voglia di farli, di godersi il gioco sfruttando le potenzialità della probabilità senza che questo significhi “perdere tempo” a contare. In questo gioco infatti non viene richiesto quel tipo di ragionamento, semplicemente perché non è quella l’esperienza che si vuole dare.
Un altro gioco su cui si può fare un ragionamento analogo è Can’t Stop. Anche in questo caso, da come si presenta la plancia di gioco, si ha da subito ben chiaro quali numeri sono più probabili e quali meno.
Se in altri giochi, come ad esempio Ganz Schön Clever, fossero riportate le varie probabilità che si possono avere (considerando anche i vari dadi che poi si devono mettere sul vassoio e tutto il resto) si avrebbe un’enorme tabella in cui semplicemente controllare, caso per caso, la scelta da fare. Questo però distruggerebbe completamente il senso del gioco, che invece consiste nel considerare – volta per volta – la scelta giusta da fare, anche tentando la fortuna.

Infine vorrei segnalare dei link:
  • le slide utilizzate nella conferenza di Marta Ciaccasassi riguardo alle meccaniche nascoste nei giochi;
  • un libro di Knizia che mi è piaciuto molto, in cui vengono approfonditi vari giochi che utilizzano i dadi;
  • un video che spiega la legge dei grandi numeri;
  • un sito utile per calcolare varie probabilità, sempre riguardanti il tiro di dadi.

Il gioco è lasciato al lettore


Se vi interessa potete acquistarlo online su Egyp.it

6 commenti:

  1. Brava! Una forte impennata al livello del nostro blog :-)

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  2. Parti pesa con quella definizione di misura di probabilità, ma poi ritorni comprensibile con gli esempi ;)
    Giancarlo

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    Risposte
    1. Grande, grazie! Era quello che mi preoccupava

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  3. Molto interessanti i tuoi articoli, bello che ci sia questa possibilità di leggerli, mettono in luce la parte "nascosta" dei giochi.
    Grazie :-)

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