[Analisi Mateludica] Sagrada

scritto da Iaia

Ciao! In questa puntata di Analisi Mateludica vorrei parlare di Sagrada, gioco che sfrutta gli stessi principi del Sudoku, in cui da 1 a 4 giocatori si sfidano a decorare la propria vetrata tramite un draft di dadi colorati. È possibile approfondire il gioco qui con TeOoh! e qui con Bernapapà.
Ringrazio cogo71 per le fotografie dei materiali.


La teoria dei grafi
Il ramo della matematica con cui vorrei analizzare Sagrada è la teoria dei grafi (su cui sono basati tantissimi altri giochi). Essa si occupa dello studio dei grafi, costituiti da un insieme di vertici e lati. Due vertici che sono collegati da un lato sono definiti adiacenti e un lato deve sempre terminare con due vertici.

Nel grafo d'esempio il vertice C è adiacente ai vertici E, D e B.

I grafi che consideriamo in Sagrada sono rappresentati dalle griglie di 4×5 caselle presenti nelle plance vetrata iniziali.


In questo caso ogni vertice è rappresentato da una casella. Una casella è definita adiacente a un'altra se la tocca ortogonalmente.
Quando si parla di grafi è necessario definire il concetto di adiacenza, in quanto non sempre è lo stesso usato nel linguaggio comune. Ad esempio in Assalto Imperiale due caselle diagonali sono considerate adiacenti ai fini del movimento, mentre in HeroQuest lo sono soltanto quelle ortogonali tra loro. Nel Sudoku invece ogni casella è adiacente a tutte quelle della propria riga, della propria colonna e del proprio quadrante. In un Sudoku con griglia 9×9 ogni casella ne ha 20 adiacenti.

A questo punto si può parlare di colorazione di un grafo. Dato un grafo, come quello qui sotto, si dice che questo possiede una k-colorazione se è possibile colorare i vertici con k colori differenti, in modo tale che nessun vertice abbia lo stesso colore dei suoi adiacenti.
Questo grafo ad esempio possiede una 3-colorazione: infatti è possibile colorarlo con tre colori differenti senza che nessuna coppia di vertici adiacenti abbia lo stesso colore.

Due grafi in uno
In Sagrada i giocatori sono chiamati a posizionare, turno per turno, diversi dadi, in modo che ogni nuovo dado posizionato tocchi ortogonalmente o diagonalmente uno già piazzato e cercando di rispettare due regole principali:
  • due dadi adiacenti non possono avere lo stesso colore sulla faccia rivolta verso l'alto;
  • due dadi adiacenti non possono avere lo stesso numero sulla faccia rivolta verso l'alto.
Queste due regole in sostanza richiedono al giocatore di trovare una 6-colorazione (determinata dal fatto che i numeri vanno da 1 a 6) e, in contemporanea, una 5-colorazione (data dai 5 colori che possono essere presenti sulle facce dei dadi).

In questo esempio si ha effettivamente una colorazione parziale del grafo, considerando i numeri riportati sui dadi, però non si ha una colorazione per quanto riguarda i colori presenti sulle facce dei dadi, dal momento che vi sono due dadi verdi adiacenti.

Si può notare quindi che il gioco richiede al giocatore non solo un ragionamento analogo a quello del Sudoku (sebbene, come visto, più semplice, poiché ogni vertice in Sagrada è adiacente soltanto ad altri quattro), ma anche che se ne facciano due in modo parallelo.
In effetti, considerando soltanto uno dei due grafi (quello che riguarda i colori delle facce dei dadi oppure quello che riguarda i numeri riportati su tali facce), si finisce per commettere errori che peseranno nel conteggio finale dei punti. Questo aspetto è quello che più mi ha colpito nel gioco Quarto (ne parliamo qui), in cui è necessario avere attenzione parallelamente su diversi livelli. Potrei parlarne in uno dei prossimi episodi, se manifestate qualche interesse nei commenti.

Diversi livelli di difficoltà
In quanti modi un giocatore può completare correttamente una vetrata? Ovvero quante colorazioni può raggiungere durante una partita?
Non si può sapere, visto che non è possibile conoscere a priori il pool di dadi disponibile ai giocatori, sia per la casualità con la quale vengono estratti, sia a causa delle scelte degli altri giocatori.

Tornando all'analogia col Sudoku, sappiamo che la soluzione che dobbiamo raggiungere deve essere unica. Questa si può ottenere tramite la colorazione iniziale del grafo (i numeri prestampati nella griglia), che diminuisce il numero di colorazioni possibili e che ci assicura, tramite diversi teoremi che ora non enunceremo, che esista.
Esiste invece un teorema, interessante da conoscere, per cui in ogni Sudoku costituito da una griglia quadrata di n²×n², il cui lato sia composto da un numero quadrato di caselle n² (ad esempio 9=3², 4=2², ecc.) e che abbia le usuali regole di adiacenza (non è possibile mettere lo stesso numero nella stessa riga, colonna o quadrante), i colori sufficienti ad avere una colorazione sono n².
All'inizio di una partita ad ogni giocatore è richiesto di scegliere tra due diverse carte schema, che propongono differenti configurazioni di numeri o colori prestampati. Queste carte schema corrispondono alla colorazione iniziale data dai numeri prestampati nel Sudoku. I giocatori dovranno colorare la propria vetrata seguendo le restrizioni date dalla carta. In particolare sulle caselle colorate potranno posizionare unicamente dadi del colore corrispondente, mentre su quelle numerate solo dadi con lo stesso numero riportato sulla faccia.
A queste carte schema corrispondono differenti livelli di difficoltà, indicate dai pallini in basso. All'aumentare della difficoltà diminuisce il numero di caselle vuote. Questo succede perché più caselle prestampate ci sono, minori saranno le colorazioni possibili, proprio come nel Sudoku si raggiunge l'unicità della soluzione a seconda della colorazione iniziale.

In figura è possibile notare quattro schemi corrispondenti a crescenti livelli di difficoltà a partire da sinistra verso destra. In effetti, da come ci si aspettava, le caselle non prestampate sono rispettivamente: 10, 8, 6 e 6.

Nel gioco vi sono 12 carte schema:
  • le carte di livello di difficoltà 3 hanno 10 e 9 caselle non prestampate;
  • le carte di livello di difficoltà 4 hanno 8 e 8 caselle non prestampate;
  • le carte di livello di difficoltà 5 hanno 7, 7, 7 e 6 caselle non prestampate;
  • le carte di livello di difficoltà 6 hanno 7, 6, 6 e 6 caselle non prestampate.
Le carte schema, inoltre, influenzano anche la strategia di un giocatore durante tutta la partita, non solo a seconda del numero di caselle prestampate, ma anche della posizione e del tipo di quest'ultime. In Sagrada vi sono infatti delle carte denominate obiettivo pubblico. Queste vengono scoperte casualmente e poste visibili a tutti a inizio partita e forniscono obiettivi facoltativi, che i giocatori possono tentare di perseguire per ottenere altri punti.

Si considerino le tre carte obiettivo in figura. Supponiamo che i quattro giocatori abbiano scelto gli schemi della figura precedente. Si può notare che la terza carta obiettivo pubblico potrebbe dare potenzialmente tutti i punti al giocatore con lo schema di livello di difficoltà 6, in quanto potrebbe colorare la griglia alternando dadi viola e gialli. Questo obiettivo non può dare potenzialmente gli stessi punti al giocatore con lo schema di difficoltà 5.

La prima figura riporta la carta schema scelta dal terzo giocatore. Le caselle su cui è disegnata una × sono quelle che non daranno mai punti per la terza carta obiettivo, quindi il terzo giocatore sarà svantaggiato rispetto a tale obiettivo, mentre la seconda figura riporta una colorazione possibile della vetrata del quarto giocatore che dà tutti i 20 possibili punti per la carta obiettivo.

Un giocatore, dunque, oltre alla scelta a priori dello schema iniziale da prendere (comunque bilanciato da dei punti favore che vengono assegnati di conseguenza e che possono essere usati per facilitare il piazzamento dei dadi), dovrà anche valutare quali delle carte obiettivo pubblico sono più o meno realizzabili a seconda del suo schema.
Inoltre ogni giocatore all'inizio partita possiede pure una carta obiettivo personale nascosto, che gli darà punti aggiuntivi in base al numero di dadi con lo stesso colore di quello riportato sulla propria carta. Anche in questo caso è necessario valutare se tentare di perseguire l'obiettivo personale o meno, magari a discapito di certi obiettivi pubblici, tenendo conto della carta schema iniziale.

Considerazioni finali
Per me è inevitabile paragonare Sagrada al Sudoku, dal momento che prende spunto dalle stesse basi.
Allo stesso modo del Sudoku, se non esasperato dai dadi che non possono essere cancellati tramite una gomma, un giocatore potrebbe rimanere frustato dopo aver visto che ha iniziato a posizionare i dadi male, mentre gli altri giocatori stanno andando perfettamente. Questa frustrazione delle prima partite è però bilanciata dal fatto che non c'è unicità di soluzione e che si può comunque continuare ad avere speranza nell'uscita dei dadi giusti e nel riuscire a "riaggiustare" la vetrata.
Proprio questo dover gestire i dadi, i quali vengono estratti casualmente dal sacchetto, può sembrare un'arma a doppio taglio dato che, pur dando più scelta (e quindi rendendo il gioco più facile), può risultare un po' spaesante e, paradossalmente, uno schema di difficoltà 6 può sembrare più facile di uno di difficoltà minore, in cui certe scelte sono costrette.
In effetti, tornando al Sudoku, gli schemi con più numeri prestampati sono generalmente considerati come più facili poiché, come detto in precedenza, la soluzione è unica in ogni caso e di fatto si hanno soltanto più indizi su dove scrivere gli altri numeri.
In Sagrada il numero di colorazioni possibili della vetrata diminuisce all'aumentare delle caselle prestampate e per questo si ha un meccanismo inverso a quello del Sudoku, dove la difficoltà (nel senso del numero di strategie possibili da attuare) aumenta con l'aumentare delle caselle prestampate.
La cosa che personalmente mi piace di Sagrada è il suo essere un gioco che lascia la possibilità di auto-valutazione e di scelta di che tipo di sfida personale si vuole avere, grazie alle carte schema iniziali e alla scelta del perseguire le carte obiettivo pubblico, pur bilanciando il punteggio tra vari livelli di difficoltà e con diversi giocatori.
Questo, insieme all'interazione data dalla scelta dei dadi e dall'utilizzo delle carte utensili, porta il gioco a essere una sfida personale, ma in compagnia.
In realtà questo "problema" della sfida soggettiva, che abbia però una valutazione assoluta (in termini di punteggio), è una delle questioni principali e più spinose dell'insegnamento, in quanto è necessario dare una valutazione oggettiva, però non è possibile lasciare da parte la soggettività dell'individuo e i progressi che ha fatto nel suo percorso. In questo senso mi ha colpito come in Sagrada si sia cercato di conciliare questi due aspetti, fornendo al giocatore diverse scelte, che gli permettono di autoregolare la propria sfida (la scelta tra due carte schema e le scelte se perseguire o meno gli obiettivi pubblici e personale), ma allo stesso tempo provando a bilanciare, tramite punti favore e carte utensili, un punteggio finale che possa risultare una valutazione assoluta tra diversi giocatori.

Il gioco è lasciato al lettore


Se vi interessa potete acquistarlo online su Egyp.it

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Rating: 5

9 commenti:

  1. Se ho ben seguito il ragionamento, nella foto con le X bianche non ce ne andrebbero due anche sugli spazi giallo e rosso che sono invece senza?
    Giancarlo

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    1. Ciao! Sisì certo anche su quelle due ci dovrebbero essere le croci, grazie della segnalazione!

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  2. Sempre molto bello leggere i tuoi articoli

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  3. Bell'articolo. A me interesserebbe anche l'eventuale articolo futuro su Quarto, e aggiungo che anche Quantik (dello stesso publisher di Quarto) ha delle similitudini col Sudoku, in quanto un giocatore non può mettere un pezzo di una certa forma in una riga, colonna o settore (la scacchiera è 4x4 divisa in settori di 2x2, e le forme sono 4, di cui ogni giocatore ne ha 2 copie) dove c'è già un pezzo della stessa forma dell'avversario (non è proprio uguale al Sudoku, perché invece si può mettere un pezzo della stessa forma di un proprio pezzo messo precedentemente, cosa che spesso si è costretti a fare).

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    1. Grazie mille! Ho dato un'occhiata a Quantik, molto interessante come parta dalle stesse regole di adiacenza del sudoku in effetti.

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  4. se qualcuno volesso un gioco solitario di logica, sulla base del Sudoku, può trovare qui quello che cerca: http://pinco11.blogspot.com/2019/11/nonsolograndi-utopia.html

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  5. Frequentando raramente il blog mi ero perso questa rubrica. Bella idea!
    Credo possa tornare molto utile per chi si interessa di game design.

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