[Analisi Mateludica] Quarto


scritto da Iaia

Ciao! In questo articolo di Analisi Mateludica vorrei approfondire Quarto, gioco astratto per 2 giocatori dalla durata di circa 20 minuti, ideato nel 1991 dal matematico Blaise Muller.
I componenti principali del gioco sono 16 pezzi, ognuno con quattro caratteristiche che lo definiscono, come ad esempio altezza o colore. Ogni caratteristica è binaria e può quindi avere solo due valori. Un pezzo potrà essere alto o basso, chiaro o scuro e così via. Ogni giocatore, a turno, deve posizionare un pezzo che gli è stato consegnato dall'avversario sulla scacchiera 4×4 presente nel gioco e il primo giocatore che mette in fila quattro pezzi che abbiano una caratteristica in comune è il vincitore. A questo link e qui è possibile trovare delle recensioni dettagliate.


I pezzi
Per prima cosa vorrei soffermarmi sulla parte fondamentale del gioco, ovvero i 16 pezzi che andremo a posizionare durante una partita. Ognuno di questi può essere rappresentato matematicamente in diversi modi.
Il modo più semplice è quello di numerare ogni pezzo da 0 a 15, utilizzando la scrittura decimale che usiamo solitamente.
Un altro modo possibile è invece quello di sfruttare il sistema numerico binario. Ogni pezzo ha quattro caratteristiche differenti: forma, altezza, riempimento o colore. Ognuna di queste caratteristiche si può presentare in due differenti modi. Si hanno queste possibilità:
  • Forma: tondo o quadrato;
  • Altezza: basso o alto;
  • Riempimento: cavo o pieno;
  • Colore: chiaro o scuro.
Ogni caratteristica può essere rappresentata dai valori 0 e 1. In questo modo si avranno:
  • Forma: 0 o 1;
  • Altezza: 0 o 1;
  • Riempimento: 0 o 1;
  • Colore: 0 o 1.
Ogni pezzo può essere di conseguenza rappresentato sfruttando la scrittura binaria.
Per scrivere un numero tramite sistema numerico binario è sufficiente conoscere le potenze e le divisioni. Per convertire un numero n da base dieci (quella che si usa solitamente) a base due, si deve dividere n per 2 fino a ottenere, come quoziente, 0, tenendo nota di volta in volta dei resti. Riscrivendo i resti in ordine inverso a come sono stati ricavati, otterremo la scrittura binaria di n.

Ad esempio consideriamo n=11:
11 : 2 = 5 resto 1;
5 : 2 = 2 resto 1;
2 : 2 = 1 resto 0;
1 : 2 = 0 resto 1.
Considerando i resti e leggendoli in ordine inverso avremo 11=(1011)2.

Questa notazione che presenta le parentesi è di solito usata per scrivere i numeri in binario.
Di seguito ometterò le parentesi, perché tutti i numeri scritti con quattro cifre saranno quelli scritti in base due. In particolare ogni cifra del numero scritto in binario che rappresenta un pezzo del gioco corrisponderà al valore della caratteristica a cui corrisponde.

Ad esempio il pezzo quadrato, basso, cavo e scuro sarà rappresentato dal numero 1001.

Ricapitolando i pezzi di Quarto possono essere rappresentati in due modi, utilizzando o la base dieci o la base due. Di seguito riporto una possibile enumerazione dei vari pezzi, utilizzando come ordine delle caratteristiche, per quanto riguarda il sistema binario, il seguente:
  • Forma (tondo=0, quadrato=1);
  • Altezza (basso=0, alto=1);
  • Riempimento (cavo=0, pieno=1);
  • Colore (chiaro=0, scuro=1).
Successivamente ho rappresentato i pezzi anche tramite scrittura decimale, convertendo i numeri dalla base due alla base dieci.



Per quanto questa procedura possa sembrare un esercizio inutile, poiché si hanno solo quattro caratteristiche, in realtà è un aiuto molto importante per problemi di entità più elevata, in quanto si passa all'astratto e, di fatto, generalizza un problema in modo da poterlo studiare con più facilità a posteriori.

Una vittoria a Quarto corrisponde ad avere in fila quattro pezzi, rappresentati tramite sistema numerico binario, che abbiano almeno una delle quattro cifre, uguali.
Guardando la prima immagine ad esempio si può notare come la prima fila dal basso comprenda tutti pezzi bassi. In effetti la seconda cifra è sempre 0.

La scacchiera
Una domanda che mi sono fatta riguardo a questo gioco è: Perché sono state scelte proprio quattro caratteristiche? Non potrebbe essere interessante utilizzare più caratteristiche che siano comunque binarie e ottenere un gioco analogo, considerando sempre una scacchiera che possa contenere tutti i pezzi?
Penso che la scelta di utilizzare quattro caratteristiche non sia stata casuale.
  • Se si fossero scelte solo due caratteristiche, la plancia quadrata sarebbe stata soltanto di 4=22 caselle. Ma, in questo caso, ogni pezzo sarebbe stato adiacente a tutti gli altri e il gioco non avrebbe avuto senso.
  • Se si fosse scelto di giocare con pezzi con 5 caratteristiche la scacchiera sarebbe stata di 25=32 caselle. Purtroppo però nessun numero intero, moltiplicato per se stesso, restituisce 32. Questo significa che non è possibile fare una scacchiera quadrata con 32 caselle. Si sarebbe potuto utilizzare una eventuale griglia rettangolare di 4 e 8 caselle per lato, ma a quel punto sarebbe stato un altro gioco.
  • Il successivo numero di caratteristiche binarie affinché si ottenga una scacchiera quadrata è 6. Infatti 26=64 ed effettivamente, 64=8×8. In questo caso però la plancia sarebbe talmente grande e i pezzi tra cui scegliere talmente tanti che più che un gioco si avrebbe qualcosa di più simile a un esercizio matematico.
Sfruttando sempre il fatto che le caratteristiche sono binarie è possibile rappresentare ogni pezzo del gioco come un vettore di quattro componenti, i cui valori possono essere o 0 o 1.
Di seguito per sfruttare la presenza di vettori, introdurrò la definizione di matrice.

Una matrice è una tabella composta da m×n numeri reali, disposti su m righe e n colonne. Nel caso m sia uguale a n si ha una matrice quadrata.

In questo caso, le matrici che andremo a considerare saranno quelle corrispondenti alla composizione della plancia e avranno come valori o 0 o 1. In particolare ogni matrice corrisponderà soltanto a una caratteristica. Avremo quindi una matrice per la forma, una per l’altezza e così via.
Non appena si avrà una matrice con quattro elementi uguali in una riga, colonna o diagonale, si avrà un vincitore.
Giocare a Quarto quindi non significa semplicemente riempire una matrice, ma quattro matrici in contemporanea!


La partita nell'immagine precedente ad esempio potrà essere rappresentata dalle seguenti matrici.
Per definizione le matrici non sono mai vuote, neanche in parte. In questo caso ho riportato solo alcuni valori delle matrici in quanto la scacchiera ancora presenta delle caselle vuote.



Il primo valore in alto a sinistra di ogni matrice corrisponde al pezzo più in alto dell’immagine.
L’ordine delle matrici è: Forma, Altezza, Riempimento e Colore.

Tuttavia questa rappresentazione non è sufficiente. Ognuna di queste matrici è legata alle altre in quanto ogni pezzo presenta tutte e quattro caratteristiche in contemporanea. Si dovrà considerare quindi una struttura costituita da quattro matrici sovrapposte.
Ogni pezzo corrisponderà quindi a un vettore che passa tutte le quattro matrici nel verso profondità e posizionarlo significherà inserire ogni volta un altro vettore in questa struttura.




Altri articoli
Una delle regole del Quarto classico è quella per cui ogni giocatore posiziona il pezzo che l'avversario ha scelto. Quando si parla di Quarto con twist, ci si riferisce al gioco in cui è presente questa regola.
Considerato il vasto numero di articoli riguardanti Quarto, sia riguardo alla versione con twist sia senza, mi sembra giusto riportare quelli che ho ritenuto più interessanti.

In questo articolo viene mostrata la strategia vincente del secondo giocatore quando si tratta della versione senza twist.
La chiave della dimostrazione per questa strategia è quella della dimostrazione per assurdo. Dopo aver deciso la strategia del secondo giocatore, impostandone le mosse ad ogni turno a seconda delle mosse del primo in modo che quest'ultimo non vinca mai, viene supposto che dopo le 16 mosse possibili il secondo giocatore non abbia mai vinto. Questo darebbe luogo a un pareggio, in quanto verrebbero riempite tutte le caselle senza un vincitore. Nell'articolo viene dimostrato che partendo da questo assunto si ha una contraddizione e quindi non può esistere un pareggio, ma solo la vittoria del secondo giocatore.
Nell'appendice viene presentata una strategia che permette al secondo giocatore di vincere al 99,99% contro un giocatore non particolarmente attento e lasciando al primo giocatore la possibilità di pareggiare (di questa non è riportata la dimostrazione).

Luc Goosens dovrebbe avere dimostrato che, nella versione con il twist, se entrambi i giocatori giocano al meglio delle loro possibilità, il gioco finisce sempre in pareggio. Ho usato il condizionale, perché non sono riuscita a trovare l'articolo in cui lo dimostra, pur essendo citato in diversi altri articoli.

In questo articolo vengono approfondite delle strategie per il gioco con twist che tutti conosciamo. In particolare vengono presentate due strategie:
  • la strategia più semplice per cui si gioca consegnando all'altro giocatore pezzi sicuri che non lo facciano vincere e posizionando i propri pezzi casualmente a meno che non si abbia la mossa vincente;
  • la strategia rischiosa per cui quando si deve posizionare un pezzo si predilige la costruzione di file di pezzi con la stessa caratteristica alla posizione casuale. Questa strategia è definita rischiosa, perché aumenta le possibilità di fare quarto anche all'avversario.
Tramite Python sono state implementate queste strategie per simulare circa 106 partite a Quarto. La strategia rischiosa sembra portare a un numero di vittorie più alto rispetto a quella più semplice.

In questo articolo vengono fatte diverse osservazioni riguardo al gioco. Anche qui ogni pezzo viene rappresentato in base due e viene sfruttata questa scrittura per studiare quanti pezzi abbiano una o più caratteristiche in comune con un singolo pezzo. Alla fine dell'articolo c'è un'interessante osservazione riguardo alla connessione tra le permutazioni della matrice della scacchiera (dove ogni elemento corrisponde a un possibile pezzo, numerato da 0 a 15) e il Tesseract, ovvero l'ipercubo in dimensione 4. In particolare si tratta della relazione tra questa matrice e la rappresentazione tramite sistema numerico binario dei vari pezzi.

Considerazioni finali
La semplicità del gioco, dai componenti alle regole, rende Quarto già familiare nel momento in cui lo si mette sul tavolo, anche senza averlo mai giocato. In più questo gioco utilizza il concetto familiare del tris (allineare dei simboli), che viene spesso rielaborato in vari modi. Basti pensare all'applicazione Candy Crash oppure a Pozioni Esplosive.
Quarto, anche col passare degli anni, penso rimanga un gioco sempre sfidante, sia da giocare che da studiare.

Il gioco è lasciato al lettore.


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Rating: 5

4 commenti:

  1. Ma dove sei stata tutto questo tempo?! Bentornata e bel post!
    Giancarlo

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  2. Quasi commosso!!!! Mi inchino a tanta capacità di analisi!!! Complimenti

    RispondiElimina

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